Lo scienziato e l'infinito

Galileo e i paradossi dell’infinito

Sempre nel XVII secolo, anche Galileo (1564-1642), fisico, matematico e astronomo, si occupa del problema dell’infinito. Tra i suoi numerosi contributi alla scienza vanno ricordati in particolare quelli astronomici: Galileo fu il primo a puntare un telescopio verso il cielo, nel 1609. Così facendo scoprì cose incredibili, come i quattro satelliti maggiori di Giove, quelli che oggi conosciamo come «lune galileiane». Galileo notò anche che il pianeta Venere possiede fasi del tutto simili a quelle della Luna: Venere pieno, Venere nuovo, quarti di Venere e così via. Tutte queste osservazioni erano coerenti con la visione eliocentrica dell’Universo proposta dal canonico polacco Niccolò Copernico nel 1543: nell’Universo di Copernico era il Sole, e non più la Terra, a occupare il centro. Era la Terra a ruotare intorno alla nostra stella insieme agli altri pianeti, e non il contrario.

Le fasi di Venere, conseguenza delle variazioni nell’illuminazione del pianeta da parte del Sole, si spiegavano solo assumendo che Venere non orbitasse intorno alla Terra ma intorno al Sole. Nel Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, pubblicato nel 1632, Galileo si schierò a difesa dell’Universo eliocentrico, dimostrando che i difensori dell’Universo geocentrico – il cui centro era occupato dalla Terra – erano degli «spiriti semplici» (nel dialogo, il personaggio che difende tale punto di vista si chiama Simplicio). Fu la goccia che fece traboccare il vaso: la Chiesa trascinò Galileo davanti all’Inquisizione, mise all’Indice tutte le sue opere e lo condannò agli arresti domiciliari, dove Galileo rimase fino alla morte. Fu in quel periodo difficile che scrisse Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, una nuova opera in cui Salviati, parlando a nome di Galileo, spiega a Simplicio i misteri dell’infinito.

La discussione tra Salviati e Simplicio si svolge nel modo seguente. Consideriamo l’elenco dei numeri interi positivi: 1, 2, 3, 4, 5, ... Si tratta di un elenco infinito, poiché possiamo sempre aggiungere 1 all’ultimo numero e ottenerne uno più grande. Eleviamo al quadrato tutti i numeri dell’elenco: otterremo 1, 4, 9, 16, 25, ...

Anche questo nuovo elenco è infinito, perché a ogni intero positivo è associato il suo quadrato (in termini matematici, si dice che esiste una corrispondenza biunivoca tra i due elenchi). I due elenchi, quindi, devono possedere lo stesso numero di elementi. A questo punto, però – ed è qui che la situazione si complica, dando origine al paradosso – ogni elemento dell’elenco dei quadrati appartiene anche all’elenco degli interi positivi. Quest’ultimo, quindi, deve contenere un numero di elementi più grande di quello dell’elenco dei quadrati, dato che comprende anche tutti i numeri interi che non sono quadrati!

Quindi il primo ragionamento (quello della corrispondenza biunivoca) ci porta a concludere che i due elenchi possiedono lo stesso numero di elementi, mentre il secondo ci dice che l’elenco infinito degli interi positivi possiede più elementi dell’elenco infinito dei quadrati. Galileo scopre così un fatto curioso: quando parliamo di un insieme infinito, un suo sottoinsieme può contenere un numero di elementi uguale a quello dell’insieme intero.

Come spiegare un risultato così bizzarro da farsi beffe del buon senso? Galileo non si arrischia, limitandosi a osservare: «Quando si ha a che fare con quantità infinite, è impossibile dire se una è più grande o più piccola dell’altra».

Galileo si è servito dell’elenco dei quadrati per mettere in evidenza i paradossi dell’infinito, ma avrebbe potuto farlo anche attraverso altri esempi. Avrebbe potuto considerare l’elenco dei numeri pari che si ottengono moltiplicando per 2 ogni numero dell’elenco infinito degli interi positivi. Così facendo si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra ogni numero intero e un numero pari: 1 corrisponde a 2, 2 a 4, 3 a 6, 4 a 8 e così via. L’elenco dei numeri pari, quindi, dovrebbe essere grande quanto quello dei numeri interi. Quest’ultimo, tuttavia, non contiene solo i numeri pari, ma anche tutti i numeri dispari.

Il buon senso ci dice che il numero totale di elementi dell’elenco dei numeri pari dovrebbe essere solo la metà del numero di elementi dell’elenco degli interi positivi. Eppure il ragionamento sulla corrispondenza biunivoca implica che i due elenchi devono avere esattamente lo stesso numero di elementi! Siamo ricaduti nuovamente nella situazione paradossale per cui, trattandosi di un insieme infinito, uno dei suoi sottoinsiemi può contenere lo stesso numero di elementi dell’insieme intero! Il tutto non è più grande di una sua parte!

Il buon senso ci dice che è impossibile. Sappiamo bene, ad esempio, che se consideriamo un elenco di coppie di sposi, il numero degli uomini è esattamente uguale a quello delle donne, e che se ne considerassimo un sottoinsieme il numero sarebbe inferiore!

Il tutto deve essere più grande della parte. Ciò è indubbiamente vero per elenchi finiti, come quelli che si incontrano nella vita di tutti i giorni. Se gli elenchi sono infiniti, invece, le cose vanno diversamente: in tal caso i sottoinsiemi sono «grandi» quanto l’insieme.

Galileo aveva sollevato una questione veramente spinosa!

I paradossi dell’infinito che sfidano il buon senso ci riportano alla storia dell’Hotel Infinito del matematico David Hilbert. Vi ricordate?

L’hotel che possiede un numero infinito di camere. Al vostro arrivo, ogni camera è occupata, ma il direttore, facendo cambiare camere a tutti gli ospiti, fa sì che se ne liberi una senza dover mettere alla porta uno degli occupanti. E lo può fare non solo per voi, ma anche per un’infinità di vostri amici! È chiaro che si tratta dello stesso paradosso intuito da Galileo: non solo gli insiemi infiniti sembrano poter includere sottoinsiemi a loro volta infiniti, ma possono includere addirittura un’infinità di altri elementi.