La mente matematica

Prefazione

ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ

Si narra che Platone avesse fatto porre all’entrata dell’Accademia di Atene l’iscrizione: «Non entri chi non conosce la matematica». Oggi la matematica continua a essere, sotto vari aspetti, una formazione indispensabile per chi è interessato a comprendere la natura delle cose. Ma è possibile accedere al mondo della matematica senza effettuare lunghi e aridi studi? In una certa misura sì, perché ciò che interessa a un individuo curioso e colto (un tempo chiamato filosofo) non è un’ampia conoscenza specialistica. Piuttosto, il filosofo di una volta (ovvero voi e io) vorrebbe capire in che modo la mente umana, o meglio il cervello del matematico, affronta la realtà matematica.
La mia ambizione è quella di presentare una visione d’insieme della matematica e dei matematici che risulti interessante sia per chi è privo di una preparazione specifica che per i molti dotati di cultura matematica. Non tenterò di seguire in modo sistematico le opinioni della maggioranza. Cercherò invece di presentare un insieme coerente di fatti e di opinioni, ognuno dei quali risulterebbe accettabile da buona parte dei miei colleghi che si occupano di matematica. Non ho la minima pretesa di produrre un’esposizione completa; mi limiterò piuttosto a illustrare i molteplici aspetti del rapporto che intercorre fra la matematica e i matematici. Alcuni di questi aspetti si riveleranno non proprio edificanti e forse avrei fatto meglio a ometterli, ma mi è sembrato più importante essere onesto che politicamente corretto. Mi si potrà anche biasimare per aver posto l’accento sugli aspetti formali e strutturali della matematica; è probabile, però, che tali aspetti si rivelino di grande interesse per il lettore di questo libro.
La comunicazione umana è basata sul linguaggio. Questo metodo di comunicazione viene acquisito e perpetuato da ognuno di noi mediante il contatto con altri utenti della lingua, in riferimento a un background comune di esperienze umane. Il linguaggio umano può essere un veicolo di verità, ma anche di errori, inganni e assurdità. Il suo utilizzo, come nel caso di questa discussione, richiede quindi molta prudenza. È possibile aumentare la precisione del linguaggio definendo in modo esplicito i termini che si utilizzano, ma questo approccio ha i suoi limiti: nella definizione di un termine vengono chiamati in causa altri termini, che a loro volta dovrebbero essere definiti, e così via. La matematica ha trovato una via d’uscita da questa regressione infinita: evita di utilizzare delle definizioni, postulando invece l’esistenza di alcuni nessi logici (chiamati assiomi) fra termini matematici altrimenti indefiniti. Per mezzo dei termini matematici introdotti con gli assiomi, si possono quindi definire altri termini, per poi procedere alla costruzione di teorie matematiche. In principio, la matematica può prescindere dal linguaggio umano e utilizzare una rappresentazione formale, in cui la validità di ogni deduzione sia verificabile automaticamente senza rischiare di incorrere in errori o inganni.
Il linguaggio umano veicola concetti, quali significato o bellezza, per noi importanti, ma difficili da definire in generale. Forse si può sperare che il significato e la bellezza della matematica siano più accessibili all’analisi rispetto ai concetti generali. Dedicherò un po’ di tempo anche a cose di questo tipo.
C’è un contrasto stridente tra la fallibilità della mente umana e l’infallibilità della deduzione matematica, la fallacia del linguaggio umano e l’assoluta precisione del formalismo matematico. Certamente, ciò rende necessario lo studio della matematica da parte del filosofo, come ha sottolineato Platone. Ma, se Platone vedeva nell’apprendimento della matematica un esercizio intellettuale indispensabile, non lo considerava un obiettivo finale. Molti di noi concorderanno con lui: ci sono altre cose che interessano al filosofo (ovvero voi e io) oltre all’esperienza matematica, per quanto preziosa essa sia.
Questo libro è stato scritto per lettori dotati di ogni tipo di competenza matematica (anche minima). Per lo più, si tratta di un discorso non specialistico sulla matematica e sui matematici, ma ho inserito anche un po’ di matematica vera e propria, facile e meno facile. Invito il lettore, indipendentemente dal suo background, a sforzarsi di capire i paragrafi matematici o almeno a dar loro un’occhiata, invece di saltare direttamente ai capitoli successivi.
La matematica ha vari aspetti e quelli che riguardano la logica, l’algebra e l’aritmetica sono fra i più difficili e specialistici. Ma alcuni risultati ottenuti in tali ambiti sono assolutamente straordinari, relativamente semplici da esporre ed è probabile che rivestano il massimo interesse filosofico per il lettore. Di conseguenza, li ho ampiamente sottolineati. Tuttavia, dovrei specificare che ciò di cui sono esperto rientra in ambiti diversi: lo studio dei sistemi dinamici differenziali e la fisica matematica. Il lettore, quindi, non deve stupirsi di trovare un capitolo sulla fisica matematica, che mostra come la matematica porti a qualcos’altro. Questo qualcos’altro è ciò che Galileo chiamava «il grande libro della Natura» e al cui studio consacrò la propria vita. È importantissimo notare che, come ha detto Galileo, il gran de libro della Natura sia scritto in lingua matematica.