Siamo tutti matematici

6. A spasso nell’arte

Per alcuni, l’arte è lontanissima dalla scienza, e in modo particolare dalla matematica, considerata come razionale e fredda. E invece... Pensate a Leonardo da Vinci (1452-1519), ingegnere e allo stesso tempo artista; a Jacques Roubaud, poeta e matematico francese nato nel 1932, o anche a Gottfried Leibniz, matematico tedesco (1646-1716) per il quale «la musica è un esercizio di aritmetica segreta, e chi vi si dedica ignora di avere a che fare con i numeri». I veri curiosi si interessano a tutto!

Nuove poesie
Un giorno, Raymond Queneau (1903-1976), scrittore con la passione per la matematica, scoprì la «sestina», un’antica forma poetica formata da sei strofe, ognuna delle quali comprende sei versi. I versi si concludono sempre con le stesse sei parole, ma l’ordine con cui compaiono cambia da una strofa all’altra. Quello che segue è un esempio tratto dalla poesia L’exil des esprits (L’esilio degli spiriti) di Ferdinand de Gramont, poeta del XIX secolo (1815-1897).
Le parole alla fine di ogni verso subiscono quella che i matematici chiamano permutazione: un rimescolamento (sempre del - lo stesso tipo) da una strofa all’altra.
Se numeriamo le parole finali, per semplicità, la permutazione può riassumersi così: 123456 -> 615243. Per trovare l’ordine della terza strofa, ripetete l’operazione: otterrete 364125. Il rimescolamento, infatti, consiste nel mettere al primo posto l’ultima parola della strofa precedente, seguita dalla prima, dalla penultima, dalla seconda e così via, alternando la fine e l’inizio della sequenza. Si può sintetizzare efficacemente l’operazione con il disegno della figura seguente: se si riporta sulla linea l’ordine delle parole nella strofa iniziale, percorrendo la spirale se ne ottiene la sequenza nella strofa successiva.
Al termine della sesta permutazione si ritrova l’ordine iniziale:                        

                 123456 -> 615243 -> 364125 -> 532614                            

                         -> 451362 -> 246531 -> 123456.

Ecco perché in una sestina ci sono solo sei strofe!
Questo tipo di permutazione ha due vantaggi (in comune con altre permutazioni, naturalmente): mescola efficacemente le parole (l’ordine ne risulta completamente scombussolato, il che non accadrebbe se la permutazione fosse troppo semplice, ad esempio 123456 ->234561), e bisogna attendere sei strofe di sei versi ciascuna prima di ritrovare l’ordine iniziale. Non è sempre così: pensate, ad esempio, alla permutazione 123456 -> 654321, che già alla terza strofa riproduce l’ordine della prima!
Volendo generalizzare (una tendenza naturale dei matematici, che consiste nel voler trovare tutte le situazioni che assomigliano a quella osservata), Raymond Queneau si fece la domanda seguente: è possibile scrivere delle «n-ine», ossia l’equivalente delle sestine ma con un altro numero di versi e di strofe?
Seguendo la stessa logica, ad esempio, possiamo scrivere delle «quin tine» composte da cinque strofe di cinque versi ciascuna. La prova? Riprendiamo la permutazione equivalente con cinque parole:

                       12345 -> 51423 -> 35214 -> 43152 -> 24531 -> 12345.

Dopo cinque strofe ordinate in maniera differente, alla sesta si torna all’ordine iniziale: perfetto!
Ecco, invece, che cosa capita se scrivete una «settina» a sette strofe di sette versi:

                 1234567 -> 7162534 -> 4731562 -> 2467531 -> 1234567.

È una catastrofe! L’ordine della prima strofa si ripresenta alla quinta, decisamente troppo presto!
Le poesie di questo tipo sono state ribattezzate «quenine», in onore di Raymond Queneau, e i numeri che permettono di creare una quenina sono detti «numeri di Queneau». Ecco i primi della lista: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 18, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 39, 41, 50, 51, 53, 65, 69, 74, 81, 83, 86, 89, 90, 98, 99...
Ce ne sono ancora molti? Nessuno sa davvero se i numeri di Queneau siano finiti o infiniti. La ricerca continua: in una tesi discussa nel 2008 si affrontava ancora la questione, senza trovare una risposta... gli amatori del genere sono avvisati!