Pensa a un numero

1. Che cosa è la matematica?

In cosa consiste la matematica? È un’invenzione o una scoperta? È qualcosa di innato o che si apprende? Quando si parla della vera natura della matematica molte domande restano senza risposta…

I pilastri della matematica

Matematica è per molti sinonimo di numeri, e di certo proprio dalla manipolazione dei numeri è iniziato il cammino matematico dell’umanità. Su quelle fondamenta, però, abbiamo costruito un edificio straordinario, molto più vasto.
L’aritmetica è il settore della matematica che tutti conosciamo: somme, sottrazioni, divisioni, moltiplicazioni e così via. La capacità di capire e moltiplicare i numeri in maniera astratta è stato il primo frammento della matematica che abbiamo iniziato a sviluppare, in modo formale, almeno sei millenni fa. Tuttavia, le ineccepibili regole logiche della manipolazione aritmetica sono state elaborate solo a partire dalla metà del XIX secolo, con lo sviluppo della teoria degli insiemi.
Approfondiremo lo sviluppo della teoria degli insiemi nei capitoli 2 e 3, dedicati rispettivamente allo zero e all’infinito, e i numeri stessi nei capitoli 4 e 5, dove tratteremo i numeri primi, atomi del sistema numerico, e altre quantità particolarmente curiose come π, φ, e e i.
La teoria della probabilità, sviluppatasi a partire dal XVII secolo, si basa sulle regole dell’aritmetica, dalle quali crea il suo insieme di leggi specifico per affrontare il caso e l’incertezza onnipresenti nel mondo. Applicata originariamente ai giochi di sorte, ha guadagnato nuova importanza nel XX secolo con l’applicazione di metodi statistici all’analisi di grandi insiemi di dati, e anche con lo sviluppo della meccanica quantistica, secondo la quale la stessa realtà è governata da leggi probabilistiche.
La probabilità e la statistica saranno argomento del capitolo 6; approfondiremo inoltre il loro collegamento con la meccanica quantistica nel capitolo 9, che evidenzia il rapporto tra numeri e realtà.
Oltre la manipolazione dei numeri, c’è la cosiddetta “alta” matematica che poggia su tre pilastri fondamentali:
1. La geometria è probabilmente il più familiare. Inizia da una idea di spazio: la geometria formale codifica i princìpi secondo i quali gli oggetti nello spazio si relazionano gli uni agli altri, ad esempio per formare un triangolo. Ne dà tuttavia una descrizione statica.
2. L’analisi è il secondo pilastro dell’alta matematica. Si occupa di ciò che si muove e cambia nel tempo. Include in particolare il calcolo differenziale e integrale, insieme a molte altre sofisticate variazioni sul tema.
3. L’algebra ci permette di rappresentare e manipolare la conoscenza in termini di numeri, simboli ed equazioni: in tal senso, è il pilastro più ampio dell’alta matematica formale. Abbraccia strutture complesse come la teoria dei gruppi (lo studio di gruppi intesi come insiemi di elementi che soddisfano certe proprietà), la teoria dei grafi (che studia come gli oggetti sono interconnessi, per esempio i computer nella rete Internet o i neuroni nel cervello) e la topologia (la matematica delle forme che possono essere deformate con continuità, ossia senza essere rotte e riassemblate).
Sebbene questi sterminati argomenti meritino ognuno un libro a sé, qui ci faremo un’idea delle intuizioni che offrono e dei problemi che presentano. Nei capitoli 7 e 8, in particolare, affronteremo rispettivamente i grandi quesiti irrisolti della matematica e le sue applicazioni nella vita quotidiana.
Prima, però, volgiamo la nostra attenzione alla domanda filosofica più complessa sull’argomento: da dove viene la matematica?