Equazioni

L’equazione di Dirac ha una struttura matematica piuttosto complessa, mascherata, almeno in parte, dalla notazione compatta; perciò è meglio spendere un po’ di tempo sulla notazione utilizzata. C’è un indice µ che può assumere i valori 0, 1, 2 o 3, a indicare il tempo e le componenti spaziali, che quindi vengono trattate allo stesso modo. I quattro campi A_µ, i cosiddetti «potenziali elettromagnetici», descrivono il campo elettromagnetico in cui si muove (ad esempio) l’elettrone, m_e è la massa di quest’ultimo. Il campo dell’elettrone è descritto da una funzione a quattro componenti, Ψ. Le cosiddette «matrici gamma»,γ^µ , sono quattro matrici numeriche (cioè tabelle 4x4 formate esclusivamente da numeri) che vanno moltiplicate secondo regole matematiche ben definite con le componenti di Ψ (in realtà abbiamo fatto sparire da Ψ un altro indice, per evitare che la notazione si appesantisse ulteriormente).

Dall’analisi dell’equazione risultò chiaro il significato delle quattro componenti del campo di Dirac. Quest’ultimo include la descrizione di una proprietà alquanto misteriosa, lo spin, che possiamo interpretare come un grado di libertà rotazionale intrinseco. Potremmo dire che l’elettrone è l’equivalente quantistico di una piccolissima trottola – che può girare in senso orario o in senso antiorario.

Si scoprì poi che l’equazione aveva una proprietà molto interessante: consentiva di descrivere non solo le due componenti dello spin di un elettrone, ma anche i due stati di spin di un’altra particella, dotata della stessa massa dell’elettrone ma di carica opposta (positiva). È per questo che la particella fu battezzata positrone. Nel 1932, C.D.

Un’analisi più approfondita dell’equazione di Dirac consentì inoltre di dare una spiegazione del principio di esclusione di Pauli. Il principio, valido per gli elettroni e per tutte le particelle descritte da un’equazione come quella di Dirac, afferma che non è possibile che due o più di tali particelle possano mai coesistere nello stesso stato. Fino a quel momento si era trattato di un ingrediente fondamentale ma ad hoc della teoria quantistica, indispensabile per spiegare la tavola periodica degli elementi. Non potendo occupare tutti lo stesso stato di minima energia, infatti, gli elettroni di un atomo devono riempire sistematicamente i livelli energetici superiori, facendo sì che atomi di tipo diverso abbiano un comportamento chimico completamente diverso.