Che cosa hanno in comune le piramidi d’Egitto, le decorazioni dell’Alhambra e le carte geografiche? Peter Higgins ci invita a un viaggio nello spazio e nel tempo alla scoperta della matematica e del suo impatto sulla nostra visione del mondo.
L'opera
La storia della matematica inizia alcune migliaia di anni fa, quando l’uomo sente il bisogno di organizzare la propria conoscenza del mondo a partire dai suoi aspetti più pratici: contare i capi di bestiame, conoscere l’estensione dei campi coltivati, misurare il tempo attraverso lo studio degli astri. Da quel momento, la lettura matematica della realtà non ha mai smesso di affascinarci e di stimolare la nostra fantasia, spingendoci a creare ed esplorare nuovi mondi. In questo libro Peter Higgins ci racconta come si è sviluppato il rapporto tra l’uomo e la matematica dai suoi albori fino ai nostri tempi, sottolineando il ruolo fondamentale della geometria nella nostra comprensione del mondo. Gli esempi scelti dall’autore privilegiano infatti l’aspetto visuale rispetto alle formule tradizionali, come testimoniano le sue stesse parole: «una figura semplice, magari disegnata da voi stessi, può fare miracoli, consentendovi di mettere a fuoco un’idea che altrimenti rimarrebbe confusa». Seguendo l’itinerario proposto dall’autore, il lettore scoprirà come si è evoluta la geometria dalle intuizioni di Talete e Pitagora alla nascita dei mondi non euclidei; esplorerà il mistero della simmetria, dalle decorazioni dell’Alhambra alle invenzioni surreali di Escher; e potrà cimentarsi, se lo vorrà, con le dimostrazioni e i problemi che hanno impegnato i matematici nel corso dei secoli. Higgins dimostra ancora una volta di saper stimolare la curiosità dei lettori coniugando il rigore matematico con il fascino di una narrazione ricca di dettagli e suggestioni.
I lettori
Un libro ideale per i lettori appassionati di storia della matematica che però non mancherà di suscitare l’interesse degli specialisti.
Peter M. Higgins
Peter Higgins è professore di Matematica all’Università dell’Essex, dove dirige il Dipartimento di Scienze Matematiche. Ha inventato il Sudoku circolare.
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Indice
Prefazione - 1. In viaggio intorno al mondo - Convessità e coste frastagliate - Triangoli rotondi - 2. Un mondo in viaggio - La storia del moto del Sole, della Luna e dei pianeti - 3. La rappresentazione geometrica - Misura e geometria - I Pitagorici - La crisi e il caos - Euclide di Alessandria - 4. Il mondo di Archimede - Oggi le coniche - Corpi in equilibrio - Il centro di un triangolo - Punti di equilibrio - Centroidi di solidi - 5. Riflessioni e curve - Il problema di Erone - Coni, curve e lampade - La parabola: il caso dell’uguaglianza - 6. Ricopriamo il mondo - Rivestimenti regolari - L’eredità araba - Le diciassette simmetrie dell’Alhambra - 7. Costruzioni possibili e impossibili - Le costruzioni semplici - Costruzioni basate sulla sezione aurea - e sui numeri primi di Fermat - Infrangiamo le regole - I limiti degli strumenti euclidei - Le tassellature e la sezione aurea - 8. Per intenditori - Per saperne di più - Indice analitico
Leggi un brano
Archimede non era solo un genio; ormai è chiaro che era
anche un matematico preparatissimo. Se da un lato nei suoi lavori
non transigeva sul rigore assoluto delle dimostrazioni, dall’altro
era in grado di apprezzare l’importanza dell’approccio intuitivo
e fisico come guida verso nuove scoperte. Questo modo
nuovo di concepire il pensiero di Archimede emerse solo dopo
il 1906, anno in cui il filologo danese Johan Ludvig Heiberg
sco prì su una pergamena custodita a Costantinopoli un manoscritto
di Archimede ritenuto perduto da più di mille anni, Il metodo.
La pergamena era stata utilizzata per copiare il metodo nel
corso del X secolo ma trecento anni dopo era stata cancellata per
lasciare il posto a una collezione di preghiere e testi liturgici
della Chiesa ortodossa. Fortunatamente il processo di pulitura
non era stato così accurato da distruggere l’originale, e gli studiosi
riuscirono a ricostruire buona parte dei lavori originali di
Archimede attraverso un’analisi minuziosa e l’utilizzo di tecniche
fotografiche. Fu un doppio colpo di fortuna: non solo il palinsesto
rappresenta l’unica fonte di quel prezioso manoscritto,
ma Il metodo è diverso da tutte le altre opere del matematico siracusano.
Ne Il metodo Archimede ci spiega in che modo l’uso
sistematico dell’idea intuitiva di momento in equilibrio intorno
a un fulcro sia stato fondamentale per condurlo alle sue più importanti
scoperte in campo matematico. Si spinge persino a mettere
in evidenza i punti deboli del suo approccio, come il fatto di
assumere che un’area possa essere pensata come una somma di
segmenti rettilinei: si tratta di un’idea troppo debole per derivarne
un’analisi rigorosa ma che in certi casi particolarmente
problematici può portare a risultati corretti, come abbiamo visto
prima analizzando il problema dell’equilibrio rispetto alla mediana
di un triangolo.
Conoscendo l’intelligenza di Archimede, la sua conoscenza
della geometria e il suo uso sistematico delle intuizioni di natura
meccanica come fonte di scoperte matematiche, i teoremi di
Pappo sono proprio il genere di risultato che ci saremmo aspettati
da lui. Di sicuro le conoscenze di Archimede andavano ben
al di là di quanto ci rivelano le sue opere conosciute: lo testimoniano
gli studiosi arabi medievali, i quali, avendo a disposizione
documenti che non sono mai giunti fino a noi, citano altri risultati
noti a quell’epoca, come la formula di Erone per calcolare
l’area del triangolo a partire dalla lunghezza dei suoi lati. È probabile
che anche Pappo, vissuto seicento anni dopo Archimede,
non avesse più accesso a gran parte delle scoperte importanti del
passato. E lo stesso Pappo si vide togliere per molto tempo la paternità
dei teoremi sui centroidi, riscoperti all’inizio del XVII secolo
dal matematico svizzero Paul Guldin al cui nome vengono
talvolta ancora associati.
Oggi si tende a considerare la determinazione di aree e volumi
complicati come una questione di competenza dei libri di calcolo
integrale. Eppure abbiamo visto come sia possibile ricavarli
servendosi di tecniche algebriche e geometriche più semplici.
Molti dei problemi classici affrontati dagli studenti dei corsi di
analisi matematica, infatti, erano già stati risolti in maniera più
che soddisfacente da Archimede e dai suoi amici matematici dell’antica
Grecia con quelle tecniche che ormai nessuno più considera,
fatta eccezione per gli storici della matematica. Non mancano
altri esempi: una fetta di cilindro circolare retto, il volume
dell’intersezione di due tubi cilindrici, aree di superfici formate
da spirali, e l’area sottostante un segmento di parabola (ricordiamo
che un proiettile sotto l’azione della forza di gravità segue una
traiettoria parabolica). Non potendo disporre delle tecniche del
calcolo integrale, che consentono di arrivare al risultato attraverso
un processo iterato all’infinito, Archimede procedeva scegliendo
un candidato alla soluzione del problema (soluzione che
indubbiamente era già stata ricavata attraverso tecniche simili a
quelle esposte nel suo Metodo); dopo di che, sfruttando metodi
che già ai suoi tempi avevano fama di essere stati scoperti da Euclide
o da altri grandi matematici, si serviva di un calcolo finito
per dimostrare che qualsiasi altra risposta non poteva essere giusta.
Per trovare un’alternativa più rigorosa a un approccio così
poco naturale, a questa misteriosa ispirazione seguita da una specie
di procedimento matematico per eliminazione, si dovettero
aspettare 1900 anni, fino all’epoca di Isaac Newton.
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