L’Universo in diciassette equazioni. Sander Bais sfida il dogma che considera le formule inadatte alle opere destinate al grande pubblico, e ci guida alla scoperta delle espressioni più alte del linguaggio della natura, la matematica.
L'opera
Il mistero del cosmo è scritto nel linguaggio della matematica, e le equazioni sono le frasi che ne esprimono la bellezza e la profondità. Cercare di spiegare la scienza senza equazioni è come cercare di spiegare l’arte senza illustrazioni: partendo da questo presupposto, Sander Bais presenta una galleria delle principali equazioni della fisica, vere icone della conoscenza in cui sono racchiuse le leggi fondamentali della natura. Delle diciassette equazioni prescelte, Bais racconta il percorso scientifico, storico e umano che ha portato alla loro genesi. Di ognuna di esse viene sottolineato il ruolo svolto nel plasmare la nostra comprensione della realtà fisica, nei suoi molteplici aspetti: dalla meccanica all’elettrodinamica, dalla fluidodinamica alla relatività e alla fisica quantistica. Dopo una breve introduzione dedicata al vocabolario del linguaggio delle equazioni, costituito da concetti matematici e dai simboli che li rappresentano, il lettore può decidere liberamente il proprio percorso: le chiavi di lettura, infatti, possono essere diverse, così come i legami tra le equazioni. Il risultato, nelle parole dell’autore, è un volo che ci permette di contemplare la bellezza di un paesaggio montuoso senza dover faticare sui sentieri accidentati che conducono alle vette. Ascoltiamo la natura che ci parla nella sua lingua.
I lettori
Studenti e insegnanti di matematica e fisica; chiunque voglia capire meglio il ruolo delle equazioni e, più in generale, del linguaggio matematico nell’evoluzione della conoscenza dell’Universo.
Sander Bais
Sander Bais insegna all’Università di Amsterdam, dove ha diretto a lungo l’Istituto di Fisica teorica. Dopo gli studi in Olanda e negli Stati Uniti, la sua attività di ricerca si è concentrata per molto tempo sulla fisica delle particelle, la teoria dei campi, la relatività e la teoria delle stringhe.
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Indice
Introduzione - Una scatola degli attrezzi tautologica - Ascesa e declino - L’equazione logistica - La meccanica e la gravità - Le equazioni della dinamica di Newton e la legge universale della gravitazione - La forza elettromagnetica - La legge di Lorentz - Una legge di conservazione locale - L’equazione di continuità - L’elettrodinamica - Le equazioni di Maxwell - Le onde elettromagnetiche - Le equazioni d’onda - Onde solitarie - L’equazione di Korteweg-De Vries - La termodinamica - I tre princìpi della termodinamica - La teoria cinetica - L’equazione di Boltzmann - La fluidodinamica - Le equazioni di Navier-Stokes - La relatività ristretta - La cinematica relativistica - La relatività generale - Le equazioni di Einstein - La meccanica quantistica - L’equazione di Schrödinger - L’elettrone relativistico - L’equazione di Dirac - L’interazione forte - La cromodinamica quantistica - Le interazioni elettrodeboli - Il modello di Glashow-Weinberg-Salam - La teoria delle stringhe - L’azione della superstringa - Ritorno al futuro - Una prospettiva finale
Leggi un brano
L’elettrone relativistico
L’equazione di Dirac
L’equazione di Schrödinger aveva un grosso limite: non era
compatibile con la relatività. L’equazione di Dirac risolse
il problema, unificando i concetti della meccanica quantistica
e della relatività ristretta, e descrivendo le proprietà
quantistiche di particelle elementari come gli elettroni,
i protoni, i neutrini e i quark. L’analisi dell’equazione
di Dirac consentì di spiegare con eleganza alcune delle
proprietà più elusive delle particelle, come lo spin, e fornì
una base solida al cosiddetto «principio di esclusione» di
Pauli, senza il quale non era possibile spiegare la struttura
atomica e la tavola periodica. L’equazione, infine, previde
l’esistenza dell’antimateria: il fatto, cioè, che per
ogni «specie» di particella ne esiste un’altra con proprietà
opposte (come la carica) ma con la stessa massa.
Nonostante il suo enorme successo, l’equazione di Schrödinger aveva
un grave difetto: non era compatibile con la relatività ristretta. Lo si
può vedere dal fatto che, nell’equazione, spazio e tempo non sono
trattati sullo stesso piano: a una derivata prima rispetto al tempo,
corrisponde una derivata seconda rispetto alle coordinate spaziali.
Dirac risolse il problema con l’equazione che oggi porta il suo nome.
L’equazione di Dirac ha una struttura matematica piuttosto complessa,
mascherata, almeno in parte, dalla notazione compatta; perciò
è meglio spendere un po’ di tempo sulla notazione utilizzata. C’è
un indice µ che può assumere i valori 0, 1, 2 o 3, a indicare il tempo
e le componenti spaziali, che quindi vengono trattate allo stesso
modo. I quattro campi Aµ, i cosiddetti «potenziali elettromagnetici»,
descrivono il campo elettromagnetico in cui si muove (ad esempio)
l’elettrone, meè la massa di quest’ultimo. Il campo dell’elettrone è
descritto da una funzione a quattro componenti, Ψ. Le cosiddette
«matrici gamma»,γµ , sono quattro matrici numeriche (cioè tabelle
4x4 formate esclusivamente da numeri) che vanno moltiplicate secondo
regole matematiche ben definite con le componenti di Ψ (in
realtà abbiamo fatto sparire da Ψ un altro indice, per evitare che la
notazione si appesantisse ulteriormente).
Dall’analisi dell’equazione risultò chiaro il significato delle quattro
componenti del campo di Dirac. Quest’ultimo include la descrizione
di una proprietà alquanto misteriosa, lo spin, che possiamo interpretare
come un grado di libertà rotazionale intrinseco. Potremmo
dire che l’elettrone è l’equivalente quantistico di una piccolissima
trottola – che può girare in senso orario o in senso antiorario.
Si scoprì poi che l’equazione aveva una proprietà molto interessante:
consentiva di descrivere non solo le due componenti dello spin di un
elettrone, ma anche i due stati di spin di un’altra particella, dotata
della stessa massa dell’elettrone ma di carica opposta (positiva). È
per questo che la particella fu battezzata positrone. Nel 1932, C.D.
Anderson diede la prima dimostrazione sperimentale dell’esistenza
di un’«antiparticella». Con il passar del tempo fu chiaro che tutte le
particelle esistenti in natura, in realtà, hanno un’antiparticella, dotata
di proprietà opposte a quelle della particella, cosicché quando una
particella e la sua antiparticella si incontrano, la coppia può annichilarsi,
convertendosi in energia pura sotto forma di radiazione elettromagnetica
– un esempio drammatico della validità di E=mc2. Più
che un vettore, l’entità a quattro componenti Ψ è uno spinore, a
causa delle particolari proprietà di spin.
Un’analisi più approfondita dell’equazione di Dirac consentì inoltre
di dare una spiegazione del principio di esclusione di Pauli. Il principio,
valido per gli elettroni e per tutte le particelle descritte da un’equazione
come quella di Dirac, afferma che non è possibile che due o più
di tali particelle possano mai coesistere nello stesso stato. Fino a quel
momento si era trattato di un ingrediente fondamentale ma ad hoc
della teoria quantistica, indispensabile per spiegare la tavola periodica
degli elementi. Non potendo occupare tutti lo stesso stato di minima
energia, infatti, gli elettroni di un atomo devono riempire sistematicamente
i livelli energetici superiori, facendo sì che atomi di tipo diverso
abbiano un comportamento chimico completamente diverso.
L’elettrodinamica quantistica
Se uniamo l’equazione di Dirac alle equazioni di Maxwell, otteniamo
l’elettrodinamica quantistica (QED, Quantum Electrodynamics), cioè
la teoria quantistica degli elettroni, dei positroni e dei fotoni. La teoria
fu portata a termine dopo la Seconda guerra mondiale dai fisici
americani Richard Feynman e Julian Schwinger, e dal giapponese
Shin-Ichiro Tomonaga. La sua validità è stata verificata con grandissima
accuratezza, ad esempio attraverso una serie di misure di alta
precisione dei momenti magnetici dell’elettrone e di un’altra particella,
il muone. L’elettrodinamica quantistica ha rappresentato il prototipo
di quella che oggi chiamiamo teoria di campo quantistica, e
costituisce il sistema di riferimento all’interno del quale formuliamo
oggi la dinamica relativistica delle particelle elementari e delle forze
fondamentali. È una teoria capace di descrivere molto bene le proprietà
fondamentali della natura.
È interessante notare come, nell’ambito del sistema di riferimento
appena citato, venga meno la distinzione tra le forze e le particelle
ad esse soggette: i campi quantistici descrivono entrambe. Una forza
viene descritta come lo scambio di una particella intermedia che la
«trasporta»: nel caso dell’elettromagnetismo abbiamo il fotone, che
ben conosciamo. Lo sviluppo di una teoria di campo quantistica era
indispensabile per sperare di riuscire a trattare tutte le interazioni
fondamentali presenti in natura in una prospettiva unificata.
Recensioni
Di seguito alcune tra le più interessanti recensioni al volume.
