Un mondo di matematica

Archimede non era solo un genio; ormai è chiaro che era anche un matematico preparatissimo. Se da un lato nei suoi lavori non transigeva sul rigore assoluto delle dimostrazioni, dall’altro era in grado di apprezzare l’importanza dell’approccio intuitivo e fisico come guida verso nuove scoperte. Questo modo nuovo di concepire il pensiero di Archimede emerse solo dopo il 1906, anno in cui il filologo danese Johan Ludvig Heiberg scoprì su una pergamena custodita a Costantinopoli un manoscritto di Archimede ritenuto perduto da più di mille anni, Il metodo.

La pergamena era stata utilizzata per copiare il metodo nel corso del X secolo ma trecento anni dopo era stata cancellata per lasciare il posto a una collezione di preghiere e testi liturgici della Chiesa ortodossa. Fortunatamente il processo di pulitura non era stato così accurato da distruggere l’originale, e gli studiosi riuscirono a ricostruire buona parte dei lavori originali di Archimede attraverso un’analisi minuziosa e l’utilizzo di tecniche fotografiche. Fu un doppio colpo di fortuna: non solo il palinsesto rappresenta l’unica fonte di quel prezioso manoscritto, ma Il metodo è diverso da tutte le altre opere del matematico siracusano.

Ne Il metodo Archimede ci spiega in che modo l’uso sistematico dell’idea intuitiva di momento in equilibrio intorno a un fulcro sia stato fondamentale per condurlo alle sue più importanti scoperte in campo matematico. Si spinge persino a mettere in evidenza i punti deboli del suo approccio, come il fatto di assumere che un’area possa essere pensata come una somma di segmenti rettilinei: si tratta di un’idea troppo debole per derivarne un’analisi rigorosa ma che in certi casi particolarmente problematici può portare a risultati corretti, come abbiamo visto prima analizzando il problema dell’equilibrio rispetto alla mediana di un triangolo.

Conoscendo l’intelligenza di Archimede, la sua conoscenza della geometria e il suo uso sistematico delle intuizioni di natura meccanica come fonte di scoperte matematiche, i teoremi di Pappo sono proprio il genere di risultato che ci saremmo aspettati da lui. Di sicuro le conoscenze di Archimede andavano ben al di là di quanto ci rivelano le sue opere conosciute: lo testimoniano gli studiosi arabi medievali, i quali, avendo a disposizione documenti che non sono mai giunti fino a noi, citano altri risultati noti a quell’epoca, come la formula di Erone per calcolare l’area del triangolo a partire dalla lunghezza dei suoi lati. È probabile che anche Pappo, vissuto seicento anni dopo Archimede, non avesse più accesso a gran parte delle scoperte importanti del passato. E lo stesso Pappo si vide togliere per molto tempo la paternità dei teoremi sui centroidi, riscoperti all’inizio del XVII secolo dal matematico svizzero Paul Guldin al cui nome vengono talvolta ancora associati.

Oggi si tende a considerare la determinazione di aree e volumi complicati come una questione di competenza dei libri di calcolo integrale. Eppure abbiamo visto come sia possibile ricavarli servendosi di tecniche algebriche e geometriche più semplici.

Molti dei problemi classici affrontati dagli studenti dei corsi di analisi matematica, infatti, erano già stati risolti in maniera più che soddisfacente da Archimede e dai suoi amici matematici dell’antica Grecia con quelle tecniche che ormai nessuno più considera, fatta eccezione per gli storici della matematica. Non mancano altri esempi: una fetta di cilindro circolare retto, il volume dell’intersezione di due tubi cilindrici, aree di superfici formate da spirali, e l’area sottostante un segmento di parabola (ricordiamo che un proiettile sotto l’azione della forza di gravità segue una traiettoria parabolica). Non potendo disporre delle tecniche del calcolo integrale, che consentono di arrivare al risultato attraverso un processo iterato all’infinito, Archimede procedeva scegliendo un candidato alla soluzione del problema (soluzione che indubbiamente era già stata ricavata attraverso tecniche simili a quelle esposte nel suo Metodo); dopo di che, sfruttando metodi che già ai suoi tempi avevano fama di essere stati scoperti da Euclide o da altri grandi matematici, si serviva di un calcolo finito per dimostrare che qualsiasi altra risposta non poteva essere giusta.

Per trovare un’alternativa più rigorosa a un approccio così poco naturale, a questa misteriosa ispirazione seguita da una specie di procedimento matematico per eliminazione, si dovettero aspettare 1900 anni, fino all’epoca di Isaac Newton.