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50 grandi idee matematica
prima edizione 2009
ristampa
Traduzione di Laura Bussotti
Dall’invenzione dello zero all’ipotesi di Riemann: la teoria del caos, il segreto del Sudoku, il meccanismo dei giochi d’azzardo.
- Collana: 50 grandi idee
- ISBN: 9788822068095
- Anno: 2012
- Mese: aprile
- Formato: 17 x 20 cm
- Pagine: 208
- Note: illustrato, cartonato
- Tag: Scienza Matematica Logica matematica Statistica
Disponibile
Chi ha inventato lo zero? Quanto è grande l’infinito? Dove si incontrano le rette parallele? Ed è vero che il battito d’ali di una farfalla può provocare una tempesta dall’altra parte del mondo? A queste e ad altre domande risponde un testo originale che presenta in 50 brevi saggi, chiari e rigorosi, i concetti matematici antichi e moderni, teorici e pratici, quotidiani ed esoterici che ci consentono di comprendere e modificare il mondo che ci circonda. In un percorso che procede dall’invenzione dello zero all’ultimo grande problema matematico rimasto insoluto, l’ipotesi di Riemann, Crilly guida il lettore alla scoperta della matematica che non si impara a scuola: spiega le potenzialità del calcolo e della statistica, chiarisce i concetti della relatività e della teoria del caos, svela la logica nascosta del Sudoku e il meccanismo dei giochi d’azzardo. I capitoli, ciascuno di quattro pagine, sono completati da una serie di interessanti inserti: aneddoti, linee del tempo, diagrammi esplicativi e approfondimenti.
Una perfetta introduzione alla matematica moderna che spiega anche i concetti più complessi in modo chiaro e accessibile a tutti.
Introduzione - 01 Lo zero - 02 I sistemi di numerazione - 03 Le frazioni - 04 I quadrati e le radici quadrate - 05 π - 06 e - 07 L’infinito - 08 I numeri immaginari - 09 I numeri primi - 10 I numeri perfetti - 11 I numeri di Fibonacci - 12 I rettangoli aurei - 13 Il triangolo di Tartaglia - 14 L’algebra - 15 L’algoritmo di Euclide - 16 La logica - 17 La dimostrazione - 18 Gli insiemi - 19 Il calcolo differenziale - 20 Le costruzioni geometriche - 21 I triangoli - 22 Le curve - 23 La topologia - 24 Le dimensioni - 25 I frattali - 26 Il caos - 27 Il postulato delle parallele - 28 La geometria discreta - 29 I grafi - 30 Il problema dei quattro colori - 31 La probabilità - 32 La teoria di Bayes - 33 Il problema del compleanno - 34 Le distribuzioni di probabilità - 35 La curva di distribuzione normale - 36 La correlazione fra i dati - 37 La genetica - 38 I gruppi - 39 Le matrici - 40 I codici - 41 Il calcolo combinatorio - 42 I quadrati magici - 43 I quadrati latini - 44 La matematica finanziaria - 45 Il problema della dieta - 46 Il commesso viaggiatore - 47 La teoria dei giochi - 48 La relatività - 49 L’ultimo teorema di Fermat - 50 L’ipotesi di Riemann - Glossario - Indice analitico
Introduzione
La matematica è una disciplina molto vasta e non si può pensare di conoscerla tutta. Ciò che invece si può fare è esplorarla individuando un proprio percorso: le possibilità che ci si aprono davanti ci condurranno verso altre epoche, culture differenti dalla nostra e concetti che hanno stimolato la curiosità dei matematici per molti secoli.
La matematica è allo stesso tempo antica e moderna, ed è stata edificata a partire da un’ampia varietà di contributi politici e culturali. Il nostro attuale sistema di numerazione è di origine indiana e araba, ma è stato poi contaminato da una serie di stratificazioni storiche. La «base 60» dei Babilonesi di due o tre millenni a.C. è ancora presente nella nostra cultura, perché un minuto è costituito da 60 secondi e un’ora da 60 minuti; d’altra parte, un angolo retto continua a essere uguale a 90 gradi e non a 100, com’era stato stabilito nel periodo della Rivoluzione francese in un primo passo in direzione del sistema decimale.
I successi trionfali della tecnologia moderna si fondano sulla matematica e il fatto di non aver capito niente di matematica ai tempi della scuola non può certo essere considerato un motivo di vanto. Naturalmente la matematica che si impara a scuola è un po’ diversa, perché spesso viene insegnata in funzione degli esami; né aiutano i ritmi forzati del calendario scolastico, perché in matematica la velocità non è un merito in sé. Ci vuole tempo per assorbire nuove idee. Alcuni dei più grandi matematici hanno proceduto con terribile lentezza, sforzandosi di comprendere in profondità i concetti su cui si basava il loro campo di indagine.
Questo non è un libro da leggere in fretta, ma da consultare e leggiucchiare con calma.
Prendetevi il vostro tempo per scoprire il vero significato di idee che magari conoscete solo per sentito dire. Partite dallo zero, o da dove più vi piace, e veleggiate nell’arcipelago delle idee matematiche: ad esempio, potreste farvi una cultura sulla teoria dei giochi e poi mettervi a leggere come funzionano i quadrati magici, oppure passare dai rettangoli aurei al celeberrimo ultimo teorema di Fermat, o scegliere un qualunque altro percorso.
Quella in cui viviamo è un’epoca esaltante per la matematica. Di recente sono stati risolti alcuni dei problemi più famosi di tutti i tempi; in certi casi, i moderni computer si sono rivelati preziosi, in altri del tutto impotenti. Il problema dei quattro colori è stato risolto con l’ausilio di un computer, ma l’ipotesi di Riemann, trattata nell’ultimo capitolo del libro, resta irrisolta, con o senza computer.
La matematica è alla portata di tutti. Il successo del Sudoku dimostra che chiunque è in grado di fare matematica (anche senza saperlo), per di più divertendosi un sacco. La matematica, come l’arte o la musica, ha avuto i suoi geni, ma non si esaurisce in quelli. Vedrete eminenti personaggi entrare e uscire di scena in alcuni capitoli, per poi riapparire in altri.
Eulero, di cui nel 2007 si è festeggiato il tricentenario della nascita, è un ospite assiduo di queste pagine, ma il reale progresso della matematica è frutto dei tanti studiosi che si sono succeduti nel corso dei secoli. Una selezione di 50 argomenti è necessariamente soggettiva, ma ho tentato di operare una scelta il più possibile equilibrata: troverete argomenti quotidiani e di livello superiore, matematica pura e applicata, idee astratte ed esempi concreti, cose vecchie e novità. La matematica è una disciplina unitaria, perciò la difficoltà non è stata scegliere alcuni argomenti, quanto lasciarne fuori altri. Queste idee avrebbero potuto essere 500, ma 50 sono sufficienti per celebrare il vostro ingresso nel mondo matematico.
I quadrati latini
Da qualche anno impazza la moda del Sudoku.
Da una parte all’altra del globo, in attesa dell’ispirazione vincente per il numero da incasellare, milioni di penne e matite vengono masticate nervosamente. Sarà un 4 o un 5? Forse è un 9. Ogni mattina dai treni sbarcano pendolari che hanno impiegato nel Sudoku uno sforzo mentale maggiore di quello che metteranno in campo nel resto della giornata. E la sera le cene vengono dimenticate a carbonizzarsi nel forno. Sarà un 5, un 4 o un 7? Tutte queste persone in realtà giocano con i quadrati latini: fanno i matematici.
Il segreto del Sudoku Nel Sudoku ci si trova davanti una griglia 9 X 9 in cui sono già riportati alcuni numeri. Lo scopo è quello di riempirla basandosi sui numeri dati. Ogni riga e ogni colonna devono contenere una e una sola volta ciascuna delle cifre 1, 2, 3, ..., 9, e lo stesso vale per ogni quadratino 3 X 3.
Si pensa che il Sudoku (una parola che significa «singole cifre») sia stato inventato alla fine degli anni ’70 del Novecento. Ha preso piede negli anni ’80 in Giappone e nel 2005 è diventato un fenomeno di massa. L’attrattiva del gioco consiste nel non richiedere una particolare cultura, al contrario dei cruciverba, pur essendo altrettanto irresistibile. In effetti, i fanatici di queste forme di tortura autoinflitta hanno molto in comune.
Quadrati latini 3 X 3 Un quadrato latino è una griglia quadrata in cui ciascun simbolo compare una sola volta in ciascuna riga e ciascuna colonna. Il numero di simboli è uguale alle dimensioni del quadrato e si chiama «ordine». Siamo in grado di riempire una griglia vuota 3 X 3 in modo tale che ogni riga e ogni colonna contengano una e una sola volta tutti i simboli a, b e c? Se la risposta è affermativa, abbiamo creato un quadrato latino di ordine 3.
Quando Eulero introdusse il concetto di quadrato latino, ne parlò come di un nuovo tipo di quadrato magico. Ma, a differenza dei quadrati magici, quelli latini non hanno niente a che vedere con l’aritmetica: i simboli possono anche non essere dei numeri. Il loro nome è dovuto al fatto che Eulero li riempì utilizzando le lettere dell’alfabeto latino, destinando le lettere greche ad altri tipi di quadrato.
La costruzione di un quadrato latino 3 X 3 è immediata.
a b c
b c a
c a b
Se si immagina che a, b e c rappresentino tre giorni della settimana, ad esempio Lunedì, Mercoledì e Venerdì, si può utilizzare il quadrato per programmare una serie di incontri tra due gruppi di persone. Il Gruppo 1 è composto da Lorenzo, Maria e Nadia, il Gruppo 2 da Roberto, Sara e Tommaso.
R S T
L a b c
M b c a
N c a b
Maria del Gruppo 1, per esempio, Lunedì incontrerà Tommaso del Gruppo 2 (perché l’intersezione fra la riga M e la colonna T corrisponde ad a = Lunedì). La disposizione secondo il quadrato latino garantisce che si verifichi un incontro per ogni coppia di membri di due squadre diverse e che le date non si sovrappongano.
Questo non è l’unico quadrato latino 3 X 3 che si può ottenere. Se si assume che A, B e C rappresentino gli argomenti discussi nel corso degli incontri tra il Gruppo 1 e il Gruppo 2, si può costruire un quadrato latino che garantisca che ciascuna persona parli di un argomento diverso con ciascun membro dell’altro gruppo.
R S T
L A B C
M C A B
N B C A
Così Maria della Squadra Uno affronterà l’argomento C con Roberto, l’argomento A con Sara e l’argomento B con Tommaso.
Ma chi dovrebbe discutere, quando e su quale argomento? Come dovrebbe essere programmata un’organizzazione così complessa? Per fortuna possiamo combinare simbolo per simbolo i due quadrati latini in modo da generare un quadrato latino composto, in cui ciascuna delle nove possibili coppie di giorni e argomenti ricorre in una sola posizione.
R S T
L a, A b, B c, C
M b, C c, A a, B
N c, B a, C b, A
Questo quadrato può essere utile anche per interpretare lo storico «problema dei nove ufficiali», in cui nove ufficiali appartenenti a tre reggimenti a, b e c e di tre ranghi A, B e C devono schierarsi sul campo di parata in modo tale che ciascuna riga e ciascuna colonna contenga un ufficiale per ciascun reggimento e con ciascun rango. I quadrati latini che possono essere combinati in questo modo sono detti «ortogonali». Nel caso 3 X 3 la soluzione si trova facilmente, ma per ordini maggiori è tutt’altro che facile trovare coppie di quadrati latini ortogonali. Anche questo fu scoperto da Eulero.
Nel caso del quadrato latino 4 X 4, il «problema dei 16 ufficiali» potrebbe consistere nel tentativo di disporre tutte le 16 figure di un mazzo di carte in un quadrato in modo che ciascuna figura (asso, re, regina o fante) e ciascun seme (cuori, quadri, fiori, picche) compaia una sola volta in ogni riga e in ogni colonna. Nel 1782 Eulero si pose il problema dei «36 ufficiali»: in sostanza, era alla ricerca di due quadrati ortogonali 6 X 6. Non essendo stato in grado di trovarli, ipotizzò che non potessero esistere quadrati latini ortogonali di ordine, 6, 10, 14, 18, 22... Ma era possibile dimostrarlo?
Le orme di Eulero furono seguite da Gaston Tarry, un matematico dilettante che lavorava come funzionario pubblico in Algeria. Studiando approfonditamente vari esempi, nel 1900 Tarry riuscì a verificare la congettura di Eulero in un caso: non esistevano coppie di quadrati latini ortogonali di ordine 6. Ovviamente i matematici pensavano che Eulero avesse ragione anche per tutti gli altri ordini (10, 14, 18, 22...).
Nel 1960 tre matematici misero in subbuglio la comunità scientifica dimostrando con uno sforzo congiunto che in tutti gli altri casi Eulero aveva torto. Raj Bose, Ernest Parker e Sharadchandra Shrikhande dimostrarono l’esistenza di coppie di quadrati latini di ordine 10, 14, 18, 22...; l’unico caso in cui non esistevano (oltre ai casi banali di ordine 1 e 2) era proprio quello di ordine 6.
Come abbiamo visto, esistono due quadrati latini ortogonali di ordine 3; per l’ordine 4 si possono produrre tre quadrati ortogonali a due a due. È possibile dimostrare che non esistono mai più di n – 1 quadrati latini reciprocamente ortogonali, perciò per n = 10 il numero di quadrati ortogonali a due a due è limitato a nove. Trovarli, però, è un’altra storia. A tutt’oggi, nessuno è stato capace di presentare neanche tre quadrati latini di ordine 10 che siano reciprocamente ortogonali.
Ma i quadrati latini hanno una qualche utilità?L’eminente statistico R.A. Fisher comprese l’utilità pratica dei quadrati latini, impiegandoli per rivoluzionare le tecniche agricole durante la sua permanenza presso la Stazione di Ricerca Rothamsted nello Hertfordshire, nel Regno Unito.
L’intento di Fisher era quello di verificare l’efficacia dei fertilizzanti sulla resa del raccolto. In condizioni ideali la semina dovrebbe avvenire su suoli identici, per evitare che la qualità del terreno influisca sulla resa del raccolto. In questo caso si potrebbero applicare i vari fertilizzanti con la certezza di avere eliminato il «disturbo» dovuto alla qualità del suolo. L’unico modo per ottenere condizioni di terreno assolutamente identiche consisterebbe nell’impiegare sempre lo stesso suolo; ciò però comporta di dover arare e riseminare in continuazione. E, se anche fosse possibile, un’altra fonte di disturbo potrebbe derivare dalle diverse condizioni meteorologiche.
Questo problema può essere aggirato utilizzando i quadrati latini. Supponiamo di voler sottoporre a test quattro trattamenti diversi. Suddividendo un campo quadrato in 16 lotti, si può visualizzare un quadrato latino in cui la qualità del suolo varia «orizzontalmente» e «verticalmente».
I quattro fertilizzanti verranno quindi applicati casualmente secondo lo schema a, b, c e d, in modo tale che ogni tipo di fertilizzante venga distribuito una sola volta per ciascuna riga e per ciascuna colonna, nel tentativo di rimuovere l’effetto della qualità del suolo. Se poi si sospetta che la resa del raccolto sia influenzata anche da altri fattori, si può provare a tenerne conto. Ammettiamo che l’ora della giornata in cui viene applicato il trattamento costituisca un fattore rilevante: si possono indicare quattro fasce temporali della giornata con A, B, C e D e utilizzare i quadrati latini ortogonali per ottenere uno schema di raccolta dati. In questo modo si può essere sicuri che ciascun tipo di trattamento e ciascun orario venga applicato a un solo lotto.
L’esperimento può essere rappresentato così:
a, orario A b, orario B c, orario C d, orario D
b, orario C a, orario D d, orario A c , orario B
c, orario D d, orario C a, orario B b, orario A
d, orario B c, orario A b, orario D a, orario C
Volendo, si possono prendere in considerazione anche ulteriori fattori, realizzando schemi a quadrato latino ancora più elaborati. Eulero non poteva certo immaginare che il suo problema degli ufficiali avrebbe trovato applicazione nelle tecniche agronomiche.
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